Q: 什么是环?

A: 环是一个这样的代数结构

设 是非空集合，在 上定义了两种运算，一个叫加法，记为 ，一个叫乘法，记为 ，如果具有

  1. 对于加法成为交换群，用 或 表示加法单位元
  2. 乘法的结合律:对所有
  3. 乘法对加法的分配律:对所有 那么我们称 是一个环，记为 ，或者简记为

或者拆分成更简单的结构去理解的话，环是一个集合，在它上面可以定义加法，加法构成Abel群，也可以定义乘法，乘法构成一个半群(就是去掉了单位元相关要求的群，实际上也只剩下一个运算和结合律了)，然后在这两个运算之间，有分配律进行沟通(否则就是单纯的两个运算了)

环的一些常见的例子有

  1. 整数环:
  2. ，它是一个理想，理想是一种特殊的环
  3. 是所有在 中的矩阵的集合

但是因为你目前比较杂鱼，直接研究一般的环不现实，我在这里仅仅讨论具有下面两个条件的特殊的环

  1. 对乘法有单位元 (此时半群是一个幺半群)
  2. 具有交换律

也就是说我(不特别说明的话)这里说的环都是含幺交换环(注意我上面给出的环的例子中的2和3都不是含幺交换环，其中2不含幺，3不交换)

Q: 你刚才提到了理想，什么是理想?环要怎么研究?

A: 我先回答第二个问题，在这个地方我们先采取和研究群相同的策略，通过同态观察另一个环的结构来得出这个环的一些结构，那么同样地，同态的核是研究的关键(我们自己选择研究的同态，然后核自然就是我们不关心的结构，然后模掉这个结构得到的商结构就剩下我们关心的了，很简单的道理)

那么类似于群同态的核是正规子群，我们有环同态的核是理想，这两者是一一对应的关系，一个环同态的核必然是一个理想，一个理想也必然是某个环同态的核

理想的确切定义如下，这里的吸收性是为了能在环同态中被模掉的必然要求

设 是一个环， 是 的一个加法子群，如果对于任意 ，都有 那么称 为 的一个理想(Ideal，或者双边理想)，如果对于一个不一定交换的环，我们还可以定义左理想( )和右理想( )

值得注意的是，理想自动成为原本的环的一个子环，但是它并不一定是含幺交换环，例如上面环的例子中， 是一个环， 是它的一个理想，但不是含幺交换的子环

Q: 那如果类比群论的同态的话，是否也有环同态定理呢?以及使用环同态定理取研究一些特殊的环，就像我们使用 这一正规子群研究置换群 一样?

A: 是的!显然是有的，但是我懒得讲了，因为和群同态基本定理，你要是需要的话自己去看看wiki得了，

使用环同态去研究环是一个很大的主题，因为环很复杂，我们还不能直接像群一样开始研究实际例子，我们需要对于理想进行分类(实际上，也就相当于对研究的商环进行分类)

因为Ametoki Shigure是个小笨蛋，所以只能研究明白简单的环，所以我们需要商环尽可能简单(如果和原来一样难就没有意义了!)，然后下面三种环是人类公认的简单的环，

  1. 域
  2. 整环(零因子是 ，但是乘法不再交换)
  3. 环中任意一个零因子都是幂零的

前两个甚至简单到人类专门给它们起了一个名字!第三个虽然没有名字(好吧，我承认它看起来也不是那么简单)，但是它在代数几何中非常重要，虽然小笨蛋可能想不明白而且我也不会对它讲解太多，但是这并不影响它很重要这件事情呢!

然后对应于这三个简单的环的理想如下

对于交换幺环

  1. 对 的一个理想 ，且不存在理想 使得 ，则称 是 的一个极大理想(maximal ideal)
  2. 对 的一个理想 ，且 是一个整环，则称 是一个素理想(prime ideal)，也就等价于 等价于 或
  3. 如果对于 ，且 的零因子都是幂零的，也即 ，则称 是一个准素理想(primary ideal)

不知道为什么这里的\neq都没有被正确渲染?有空会处理的(大概)，todo+1

Q: (沉思...)，不对谁是小笨蛋啊!

A: 那就大笨蛋，略略略，哎呀好像到时间了，下次说吧(恶意地终止了对话!)

萝莉妈妈!