- Lyapunov稳定性分析

我们知道很多微分方程难以求出解析解，而我们还是想要获取这个方程的一些基本信息，我们可以考虑这里的稳定性研究来大致的对这个方程的情况有一些了解，或者考虑数值方法求解(实际上，数值方法求解之前稳定性研究也是非常有意义的，否则如果遇到初值偏移一点就会影响很大的方程，我们就需要更谨慎地选择数值方法)

而Lyapunov稳定性分析，则是这个稳定性分析中一种十分重要的方法

Q: Lyapunov稳定性分析，能够得到什么结论

A: Lyapunov稳定性分析，可以得到~~Lyapunov稳定性相关的结论(废话)~~，具体地来说，我们研究Lyapunov稳定性的时候，是验证某一个初值下的解，在与准确初值略有偏差的时候，是否还可以表现良好，也就是说是否我们想要控制这个不准确初值下的解与精确解的距离到任意小的时候，只需要控制初值的的偏差足够小就可以了

Lyapunov稳定的 如果对于任意给定 $\epsilon>0$ 和 $t_{0}\in \mathbb{R}$ ，存在 $\delta=\delta(\epsilon,t_{0})>0$ ，使得对于任何满足

$\left\| \vec{x}_{1}-\vec{x}_{0} \right\| <\delta$

的解 $\vec{x}_{1}$ ，解 $\vec{x}=\vec{\varphi}(t,t_{0},\vec{x}_{1})$ 在 $t\geq t_{0}$ 有定义且

$\left\| \vec{\varphi}((t;t_{0},\vec{x}_{1}))-\vec{\varphi}(t;t_{0},\vec{x}_{0}) \right\| <\epsilon$

对一切 $t\geq t_{0}$ 成立，则称这个解在Lyapunov意义下是稳定的，简称稳定

Lyapunov不稳定的 : 如果不是Lyapunov稳定的，则是Lyapunov不稳定的

简洁明了的划分，这个分类将解分为了两种，Lyapunov稳定对于数值计算来说显然是一件好事，因为我们即使初值给得稍微有点偏差，最后的解大概也不会偏离太远，能将就着用

在此之上还有一种更好的情况，就是加了前缀asymptotically(渐近的)的情况，它指的是在稍微有点偏差的情况下，不只不会偏离太远，甚至还能越来越近(直到 $t\to \infty$ 的时候彻底没有偏差)的情况，它将最后上面定义的Lyapunov稳定的最后一条换成 $\lim_{ t \to +\infty }[\vec{\varphi}(t;t_{0},\vec{x}_{1})-\vec{\varphi}(t;t_{0},\vec{x}_{0})]$ 即可，然后这种吸引性是否globally(全局地)，我们还可以再加上这个前缀，如果全局渐近稳定，那么不管初值偏差得多么离谱，只要时间足够长，这个解和精确的解还是几乎相同的(~~有一种冥冥之中的宿命的感觉,嗯，听起来很厉害~~)

Q: ~~哇，好厉害(言不由衷地)~~，那我们要怎么得到这个分类呢?

A: ~~当然是把方程解出来代入定义去验证啦，要是这么说的话就是诈骗了呢~~，实际上，Lyapunov的直接方法的核心在于定义了一个能量，能量越小离得越近(这里的近并不直接是欧几里得距离更短，而是在更加内侧的轨道，不过可以用这个 $V$ 定义一个范数，那么在这个范数下的距离大小就直接和轨道内外对应了)，具体地，下面是他的理论的中心，这里以用于判断的算法的形式给出

我们首先找一个函数(Lyapunov函数，你先别管它怎么来的，反正就是找到了) $V(\vec{x},t)$ 是一个定正函数，然后我们可以计算它对于 $t$ 的导数 $V_{t}$ ，如果

$V_{t}$ 在一个邻域内是一个定负函数，那么这个时候相当于能量是逐渐减小的，那么这个时候它是稳定的，如果甚至 $V_{t}$ 始终是负的并且 $t\to \infty$ 的时候趋于 $0$ ，则有这个位置的解是渐近稳定的，如果在此基础上整个空间内都是定负的，那么这个时候它是全局渐近稳定的
如果很不幸，它在某个邻域是常正的，那么这是时候它不可能是稳定的

关于稳定性的定理还可以加强为下面的定理

==切塔耶夫定理== 如果存在 $V$ ，使得

对于一切 $t\geq T$ ，对于原点的任意小邻域内，有满足 $V>0$ 的集合存在(记为 $S$ )

在 $S$ 中 $V$ 有界

此时 $V'$ 在 $S$ 中是定正的
那么这个时候这个解是不稳定的(这里讨论的是原点处的解的稳定性，实际上所有的稳定性判断问题都可以转化为原点处的问题)

Q: 这里的定正和常正是什么意思?

常号 如果存在 $T>0$ 以及 $H>0$ ，使 $V(t;x_{1},\dots,x_{n})$ 在区域上除了可以取 $0$ 之外，保持同一符号，则称 $V$ 是常号的，如果 $V\geq 0$ 则称为常正的， $V\leq 0$ 则称为常负的

为了定义一般函数的定号性，我们先定义不依赖于 $t$ 的函数的定号性

不依赖于 $t$ 的函数的定号性对于不依赖于 $t$ 的函数 $V(x_{1},\dots,x_{n})$ ，如果存在 $H>0$ ，使得当 $|x|\leq H \text{ 及 } x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}>0 >$ 时， $V$ 保持同一符号，则称 $V(x_{1},\dots,x_{n})$ 是定号的，如恒有 $V>0$ ，则称为定正的，如果有 $V<0$ ，则称为定负的

任意函数的定号性 不是常号函数 $V(t;x_{1},\dots,x_{n})$ ，如果有 $H>0$ 以及 $T$ 存在，且存在定正函数 $W(x_{1},\dots,x_{n})$ 使在域上 $V-W \text{ or } -V-W >$ 是常正函数，则 $V(t;x_{1},\dots,x_{n})$ 称为定号的，如果 $V-W\geq 0$ ，则称为定正的，如 $-V-W\geq 0$ ，则称为定负的