- 随笔-分圆多项式和有限域

最近在复习抽象代数，发现了一个好玩的东西，有限域，写一篇随笔记录一下

本随笔将以聂灵沼等人的《代数学引论》第二版第235页的第22题为主线，记录分圆域乃至于有限域的一些比较重要的性质

设 $\mathbb{F}_{p}= \mathbb{Z} /(p)$ ， $p$ 为素数， $f(x)\in \mathbb{F}_{p}[x]$ 为一个 $n$ 次不可约多项式， $P_{n}(x)$ 表示 $\mathbb{F}_{p}[x]$ 中首项系数为 $1$ 的 $n$ 次不可约多项式全体的乘积，证明

$f(x)|x^{p^m}-x$ 当且仅当 $n|m$

$x^{p^n}-x|x^{p^m}-x$ 当且仅当 $n|m$

$x^{p^n}-x=\prod_{d|n}P_{d}(x)$

$P_{n}(x)=\prod_{d|n}(x^{p^d}-x)^{\mu(n /d)}$ ，其中 $\mu$ 是Möbius函数

$\mathbb{F}_{p}$ 上不可约多项式(互不相伴)的个数等于 $N_{n}=\frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu\left( \frac{n}{d} \right)p^d$

就在介绍这题解法的时候顺便引入这些概念吧

首先是素域(也叫做素数域)，它是特征为 $p$ ( $p$ 是素数)的域，就是 $\mathbb{Z} /(p \mathbb{Z})$ 得到的结构，记作 $\mathbb{F}_{p}$ ，它和我们在数论中很熟悉的完全剩余系在同构意义下是同一个东西
然后是扩展域，它是 $\mathbb{F}_{p}[x] /f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是一个 $\mathbb{F}_{p}$ 中的不可约多项式，然后它的元素都形如 $a_{0}+a_{1}x+\dots+a_{n}x^{n}$ ，其中 $a_{i}$ 都是 $\mathbb{F}_{p}$ 中的元素，这个域记为 $\mathbb{F}_{p^n}$ (或者取 $q=p^n$ ，就记作 $\mathbb{F}_{q}$ )，这里如果不理解的话，可以类比在 $\mathbb{Q}$ 中情况，实际上就是在引入单扩张的时候的一个结论

最后这里最重要的概念出来了，有限域就是素域或者拓展域，换言之，有限域都有形式 $\mathbb{F}_{p^n}$ (这里 $n$ 可以等于 $1$ ，就是素域的情况，也可以大于 $1$ ，就是拓展域的情况)

引入了这些概念，差不多可以处理这个题目了，可以看到，它最困难的就是第三问，把第三问证明了之后其它都可以用第三问的证出来，而这里第三问就是我们这里要说的最重要的性质

有限域就是 $x^q-x$ 的分裂域，其中 $q=p^n$ ， $p$ 为素数

这里偷懒不证明了，放一个我看到整理得比较好的证明的链接吧，来自OI WIKI

这里稍微跑题一下，我是前几天发现的这个网站，似乎是基本是高中信息竞赛选手搭建和维护的...感觉他们好厉害呢...我那个年纪的时候稍微懂一点群论就觉得自己挺厉害了，然后现在看到他们编写的数学相关的内容对我这个数学系的本科生都很有参考价值...

另外再跑题一下，Ametoki Shigure在高中的时候知道群论的一些知识是因为化学竞赛需要(现在还能背得常见三维图形的点群和对称元素)，然后记得当时物理竞赛的一个同学也找我问群论的东西，说是他们也需要(虽然我现在还不知道到底他们为什么需要)，现在看来信息竞赛也很需要抽象代数的知识，真是应该感慨数学(或者说近世代数...?)是百科之母呢...

~~大家可能会觉得数学作为百科之母还可以理解，近世代数这个领域也太小了怎么作为百科之母呢？Ametoki Shigure的话，只会回答你萝莉妈妈不是更棒吗?!!~~ 萝莉妈妈!

跑题有点远了，继续说回数学吧，这里的这个结论其实就是这个第三问的结论(没看出来的可以多瞅两眼)，然后我们就可以用这个结论去证其他几个结论了(~~感觉我连证明都没给，好敷衍，不过管它呢~~)

第一问结论是第二问结论的子集，而第二问用第三问的结论是显然的，第四问直接使用Möbius即有 $P_{n}(x)=\prod_{d|n}(x^{p^d}-x)^{\mu(n /d)}$ 第五问直接利用第四问的结论，每一个的次数都是 $n$ ，而总次数是 $\mu(n /d)$ 个 $p^d$ 即有 $N_{n}=\frac{1}{n}\sum_{d|n} \mu\left( \frac{n}{d} \right)p^d$

以上证完了这一道题目，然后我们来看一下性质十分相似的分圆域和分圆多项式

分圆域就是 $\mathbb{Q}(\xi_{n})$ ，其中 $\xi_{n}$ 就是 $1$ 的 $n$ 次单位根，那么显然它是 $x^n-1$ 的分裂域，又多项式和数论的知识我们知道它是 $\mathbb{Q}$ 上的 $\varphi(n)$ 次扩张(其中 $\varphi$ 是欧拉函数)
分圆多项式就是 $\xi_{n}$ 的极小多项式

类似地，它有和上面题目中的相似的性质，证明方法基本相同，略去

设 $\mathbb{Q}(\xi_{n})$ 是 $n$ 次分圆域， $\Phi_{n}(x)$ 表示对应的分圆多项式，则我们有

$\Phi_{n}(x)| x^m-1$ 当且仅当 $n|m$

$x^n-1| x^m-1$ 当且仅当 $n|m$

$x^n-1=\prod_{d|n}\Phi_{d}(x)$

$P_{n}(x)=\prod_{d|n}(x^d-1)^{\mu(n /d)}$ ，其中 $\mu$ 是Möbius函数

$\mathbb{Q}(\xi_{n})$ 上的不可约多项式(互不相伴)的个数为 $\frac{1}{\varphi(n)} \sum_{d|n} \mu\left( \frac{n}{d} \right)\cdot d$

值得注意的是 $\mathbb{Q}(\xi_{n})$ 始终是无限域，而 $\mathbb{F}_{p^n}$ 是有限域，而它们共享类似的性质让我很感兴趣这种相似性来源何处，这才有了这一篇随笔

这里的相似性都源于其中的第三条，其他的几条都是这一条的推论，也就是如果我们如果找到了一类多项式(如这里的 $x^n-1$ 或者 $x^q-x$ )它可以被一列多项式分解(如这里的 $\Phi_{n}(x)$ 或 $P_{n}(x)$ )，就可以诱导出这样的性质

~~原来是这么平凡的原因，感觉白探究了，算了写都写了~~